実数、絶対値、平方根

実数

実数と一言で言っても、その中にはいくつかの分類がある。
循環小数、整数、無理数、有限小数、有理数。
対応する数値例を下に示す。

例) $ \left( \displaystyle \frac{1}{3}=0.333… \right) $　 $ \left( \displaystyle \frac{1}{2}=0.5 \right) $　 $ \left( \sqrt{2}=1.4142… \right) $　 $ \left( 0　\pm 1　\pm 2　\pm 3　… \right) $

この５つの分類の関係を、例と合わせて整理すると、下記のようになる。
\begin{align} {\color[RGB]{34,34,34}実数} \begin{cases} 有理数 \begin{cases} 整　数　　　\displaystyle {\color[RGB]{34,34,34} \left( 0,　\pm 1,　\pm 2,　\pm 3,　… \right)} \\ 有限小数　　\displaystyle \left( \frac{1}{2}=0.5など\right)　　　{\color[RGB]{34,34,34}分数} \\ 循環小数　　\displaystyle \left( \frac{1}{3}=0.333…など\right)　{\color[RGB]{34,34,34}分数かつ }{\color[RGB]{34,34,34}無限小数} \end{cases} \\ 無理数　 {\color[RGB]{34,34,34}循環しない無限小数}　(\sqrt{2}=1.4142…など)　{\color[RGB]{34,34,34}無限小数} \end{cases} \end{align} 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 ○ 　　　 × Click! Anser

絶対値

絶対値記号は、$ 3 $ や $ -3 $ に対して $ \left| 3 \right| $ 、$ \left| -3 \right| $ のように記述する。
実数を範囲とする変数 $ a $ に対して $ \left| a \right| $ と書かれていれば符号は無視をして、非負の値を表す、と言うのが定義である。

従って $ \left| a \right| $ は常に $ \left| a \right| \geqq $ $ 0 $ である。 ○ 　　　 × Click! Anser

　　　上記の意味は、変数 a ( 実数範囲 ) と取り合わせて理解する必要がある。
　　　とくに $ \left| a \right| $ から絶対値記号を取り去る時に注意が必要となる。

　　　・絶対値記号を取り除く前に変数 $ a $ が確定する場合。
　　　　　たとえば $ \left| 3 \right| = 3 $ 、 $ \left| -3 \right| = 3 $
　　　　　となることは容易に理解できる。

　　　・絶対値記号を先に取り払った後に、変数 $ a $ が確定する場合。
　　　　　$ \left| a \right| = a $
　　　　　と考えがちだが、これは間違いである。
　　　　　何故ならば
　　　　　$ \left| a \right| = a $ とした後に $ a $ が $ -3 $ と確定すると
　　　　　$ {\color[RGB]{255,00,00} \left| -3 \right| = -3} $
　　　　　が成り立ってしまう結果となるからである。
　　　　　これは
　　　　　$ \left| a \right| \geqq 0 $　 ○ 　　　 × Click! Anser
　　　　　と矛盾する。

$ \left| a \right| $ から絶対値を取り払うには、$ a $ の場合分けが必要となる。
$ \left| a \right| $ = $ a $　　　( $a \geqq 0$ のとき) ○ 　　　 × Click! Anser

$ \left| a \right| $ = $ -a $　　( $a \lt 0$ のとき) ○ 　　　 × Click! Anser

変数 $ a $ ( と言う箱には ) 数文字と共に、符号も入っていることを意識しておく。

平方根

２乗して $ a $ となる数を $ a $ の平方根と言い、根号 $ \sqrt{　} $ で表す。

$ a = 0 $ の平方根は $ 0 $ のみである。

$ a \neq 0 $ の平方根は２つある。
　　　$ a \gt 0 $ のとき $ a $ の２つの平方根は正負の実数であり、
　　　　　　正の平方根は $ \sqrt{ a } $ と表す。　　　　　　 ○ 　　　 × Click! Anser

　　　　　　負の平方根を表すときは $ - \sqrt{ a } $ と記す。 ○ 　　　 × Click! Anser

　　　　　　上記はともに２乗して $ a $ となる数なのだから
　　　　　　$ { ( \sqrt{ a } ) }^2 $ = $ a $　　　例) $ { ( \sqrt{ 3 } ) }^2 $ = $ 3 $
　　　　　　$ { (- \sqrt{ a } ) }^2 $ = $ a $　　例) $ { (- \sqrt{ 3 } ) }^2 $ = $ {(-1)}^2 \cdot { ( \sqrt{ 3 } ) }^2 $ = $ 3 $
　　　　　　が成り立つ。

　　　　　　ここで$ \sqrt{ a^2 } $ と $ - \sqrt{ a^2 } $ についても押さえておく。
　　　　　　$ a \gt 0 $ なので
　　　　　　$ \sqrt{ a^2 } $ = $ a $　　　　例) $ \sqrt{ 3^2 } $ = $ \sqrt{ 9 } $ = $ 3 $
　　　　　　$ - \sqrt{ a^2 } $ = $ -a $ 　例)$ - \sqrt{ 3^2 } $ = $ - \sqrt{ 9 } $ = $ -3 $ ○ 　　　 × Click! Anser

　　　$ a \lt 0 $ のとき $ a $ の２つの平方根は実数の範囲には存在しない。
　　　しかし $ { ( \sqrt{ a } ) }^2 $ や $ \sqrt{ a^2 } $ の形で取り扱う場合があるので押さえておく。
　　　　　　$ { ( \sqrt{ a } ) }^2 $ = $ a $　　　例) $ { ( \sqrt{ -3 } ) }^2 $ = $ -3 $
　　　　　　$ { (- \sqrt{ a } ) }^2 $ = $ a $　　例) $ { (- \sqrt{ -3 } ) }^2 $ = $ {(-1)}^2 \cdot { ( \sqrt{ -3 } ) }^2 $ = $ -3 $
　　　　　　である。

　　　　　　$ \sqrt{ a^2 } $ と $ - \sqrt{ a^2 } $ については
　　　　　　$ a \lt 0 $ なので
　　　　　　$ \sqrt{ a^2 } $ = $ -a $ 　　例) $ \sqrt{ (-3)^2 } $ = $ \sqrt{ 9 } $ = $ 3 $
　　　　　　$ - \sqrt{ a^2 } $ = $ a $ 　例)$ - \sqrt{ (-3)^2 } $ = $ - \sqrt{ 9 } $ = $ -3 $ ○ 　　　 × Click! Anser