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実数、絶対値、平方根

実数

実数と一言で言っても、その中にはいくつかの分類がある。
循環小数、整数、無理数、有限小数、有理数。
対応する数値例を下に示す。

例) $ \left( \displaystyle \frac{1}{3}=0.333… \right) $  $ \left( \displaystyle \frac{1}{2}=0.5 \right) $  $ \left( \sqrt{2}=1.4142… \right) $  $ \left( 0 \pm 1 \pm 2 \pm 3 … \right) $

この5つの分類の関係を、例と合わせて整理すると、下記のようになる。
\begin{align} {\color[RGB]{34,34,34}実数} \begin{cases} 有理数 \begin{cases} 整 数   \displaystyle {\color[RGB]{34,34,34} \left( 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, … \right)} \\ 有限小数  \displaystyle \left( \frac{1}{2}=0.5など\right)   {\color[RGB]{34,34,34}分数} \\ 循環小数  \displaystyle \left( \frac{1}{3}=0.333…など\right) {\color[RGB]{34,34,34}分数かつ }{\color[RGB]{34,34,34}無限小数} \end{cases} \\ 無理数  {\color[RGB]{34,34,34}循環しない無限小数} (\sqrt{2}=1.4142…など) {\color[RGB]{34,34,34}無限小数} \end{cases} \end{align}                                             × Click! Anser


絶対値

絶対値記号は、$ 3 $ や $ -3 $ に対して $ \left| 3 \right| $ 、$ \left| -3 \right| $ のように記述する。
実数を範囲とする変数 $ a $ に対して $ \left| a \right| $ と書かれていれば符号は無視をして、非負の値を表す、と言うのが定義である。

従って $ \left| a \right| $ は常に $ \left| a \right| \geqq $ $ 0 $ である。     × Click! Anser

   上記の意味は、変数 a ( 実数範囲 ) と取り合わせて理解する必要がある。
   とくに $ \left| a \right| $ から絶対値記号を取り去る時に注意が必要となる。

   ・絶対値記号を取り除く前に変数 $ a $ が確定する場合。
     たとえば $ \left| 3 \right| = 3 $ 、 $ \left| -3 \right| = 3 $
     となることは容易に理解できる。

   ・絶対値記号を先に取り払った後に、変数 $ a $ が確定する場合。
     $ \left| a \right| = a $
     と考えがちだが、これは間違いである。
     何故ならば
     $ \left| a \right| = a $ とした後に $ a $ が $ -3 $ と確定すると
     $ {\color[RGB]{255,00,00} \left| -3 \right| = -3} $
     が成り立ってしまう結果となるからである。
     これは
     $ \left| a \right| \geqq 0 $      × Click! Anser
     と矛盾する。

$ \left| a \right| $ から絶対値を取り払うには、$ a $ の場合分けが必要となる。
$ \left| a \right| $ = $ a $   ( $a \geqq 0$ のとき)     × Click! Anser

$ \left| a \right| $ = $ -a $  ( $a \lt 0$ のとき)     × Click! Anser

変数 $ a $ ( と言う箱には ) 数文字と共に、符号も入っていることを意識しておく。


平方根

2乗して $ a $ となる数を $ a $ の平方根と言い、根号 $ \sqrt{ } $ で表す。

$ a = 0 $ の平方根は $ 0 $ のみである。

$ a \neq 0 $ の平方根は2つある。
   $ a \gt 0 $ のとき $ a $ の2つの平方根は正負の実数であり、
      正の平方根は $ \sqrt{ a } $ と表す。           × Click! Anser

      負の平方根を表すときは $ - \sqrt{ a } $ と記す。     × Click! Anser

      上記はともに2乗して $ a $ となる数なのだから
      $ { ( \sqrt{ a } ) }^2 $ = $ a $   例) $ { ( \sqrt{ 3 } ) }^2 $ = $ 3 $
      $ { (- \sqrt{ a } ) }^2 $ = $ a $  例) $ { (- \sqrt{ 3 } ) }^2 $ = $ {(-1)}^2 \cdot { ( \sqrt{ 3 } ) }^2 $ = $ 3 $
      が成り立つ。

      ここで$ \sqrt{ a^2 } $ と $ - \sqrt{ a^2 } $ についても押さえておく。
      $ a \gt 0 $ なので
      $ \sqrt{ a^2 } $ = $ a $    例) $ \sqrt{ 3^2 } $ = $ \sqrt{ 9 } $ = $ 3 $
      $ - \sqrt{ a^2 } $ = $ -a $  例)$ - \sqrt{ 3^2 } $ = $ - \sqrt{ 9 } $ = $ -3 $     × Click! Anser

   $ a \lt 0 $ のとき $ a $ の2つの平方根は実数の範囲には存在しない。
   しかし $ { ( \sqrt{ a } ) }^2 $ や $ \sqrt{ a^2 } $ の形で取り扱う場合があるので押さえておく。
      $ { ( \sqrt{ a } ) }^2 $ = $ a $   例) $ { ( \sqrt{ -3 } ) }^2 $ = $ -3 $
      $ { (- \sqrt{ a } ) }^2 $ = $ a $  例) $ { (- \sqrt{ -3 } ) }^2 $ = $ {(-1)}^2 \cdot { ( \sqrt{ -3 } ) }^2 $ = $ -3 $
      である。

      $ \sqrt{ a^2 } $ と $ - \sqrt{ a^2 } $ については
      $ a \lt 0 $ なので
      $ \sqrt{ a^2 } $ = $ -a $   例) $ \sqrt{ (-3)^2 } $ = $ \sqrt{ 9 } $ = $ 3 $
      $ - \sqrt{ a^2 } $ = $ a $  例)$ - \sqrt{ (-3)^2 } $ = $ - \sqrt{ 9 } $ = $ -3 $     × Click! Anser


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