集合の要素の個数

ここには確率を求める時に利用する、集合論の内容をまとめてある。

集合とその表し方

集合とは、はっきりと区別できる「もの」の集まりである。集合を構成する「もの」を要素または元という。

集合を $ A $ 、集合を構成する「もの」を $ a $ 、構成しない「もの」を $ b $ とすると

　　・$ a \in A $　　… $ a $ は集合 $ A $ の要素である。
　　　　　　　　　　$ a $ は集合 $ A $ に属する。
　　・$ b \notin A $ 　　… $ b $ は集合 $ A $ の要素ではない。
　　　　　　　　　　$ b $ は集合 $ A $ に属さない。

集合を表すのに、２種類の記述法がある。

　　・要素を並べて表す方法　　　　　　　… $ \{1,~3,~5 \} $
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $ \{x^2,~3xy+1,~y \} $ など
　　・集合の要素になる条件を書く方法　　… $ \{n \mid n $ は $ 5 $ 以下の自然数 $ \} $
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $ \{x^2+1 \mid x $ は $ 1 \lt x \lt 3 $ なる実数 $ \} $ など

部分集合

集合 $ A $ が集合 $ B $ に含まれる時、または集合 $ B $ が集合 $ A $ を含むとき
　　・$ A \subset B $　　…集合 $ A $ は集合 $ B $ の部分集合である。
　　　　　　　　　「$ x \in A $ ならば $ x \in B $ 」が成り立つ。
$ A $ と $ B $ のそれぞれの要素が等しいとき
　　・$ A = B $　　…集合 $ A $ と集合 $ B $ の要素は完全に一致する。
　　　　　　　　　「$ A \subset B $ かつ $ B \subset A $ 」が成り立つ。
集合が「もの」を１つも含まないとき
　　・空集合 $ \varnothing $


- 注意 -
・集合 $ A $ は集合 $ A $ 自身の部分集合でもある。すなわち　$ A \subset A $
・空集合 $ \varnothing $ はすべての集合の部分集合とも考えられる。

共通部分、和集合

補集合

全体の集合 $ U $ の要素で、$ A $ に属さない要素全体の集合を補集合と言う。この集合を下記の記号で表す。
　　・$ \bar{ A } $
　　　　$ A \cap \bar{ A } = \varnothing $
　　　　$ A \cup \bar{ A } = U $
　　　　$ \overline{ \overline{ A } } = A $