ド・モルガンの法則、個数定理

ド・モルガンの法則

集合の中でも特に大切なド・モルガンの法則とか、下記のようなものである。
全体集合 $ U $ と、その中の集合 $ A $、$ B $ があるとき
　　・$ \overline{ A \cup B } = \overline{ A } \cap \overline{ B } $
　　・$ \overline{ A \cap B } = \overline{ A } \cup \overline{ B } $
が成り立つ。

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個数定理

有限集合の要素の個数を $ n(A) $ などで表す。また $ U,~A,~B,~C $ を有限集合とする。

和集合の要素の個数

和集合の要素の数は、下記の式で求められる。
　　・$ n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B) $

　　　　　　$ A \cap B = \varnothing $
　　　　　　のとき
　　　　　　$ n(A \cup B) = n(A)+n(B) $
　　　　　　となる。

補集合の要素の個数

$ U $ を全体集合、$ \bar{ A } $ を $ A $ の補集合とすると、補集合の要素の個数は下記の式で求められる。
　　・$ n(\bar{ A }) = n(U)-n(A) $

３つの集合の和集合の要素の個数

　　・$ n(A \cup B \cup C) $
　　　　$ = n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C) $

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