ド・モルガンの法則、個数定理

ド・モルガンの法則

集合の中でも特に大切なド・モルガンの法則とか、下記のようなものである。
全体集合 $U$ と、その中の集合 $A$、$B$ があるとき
　　・$\overline{ A \cup B } = \overline{ A } \cap \overline{ B }$
　　・$\overline{ A \cap B } = \overline{ A } \cup \overline{ B }$
が成り立つ。

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個数定理

有限集合の要素の個数を $n(A)$ などで表す。また $U,~A,~B,~C$ を有限集合とする。

和集合の要素の個数

和集合の要素の数は、下記の式で求められる。
　　・$n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

　　　　　　$A \cap B = \varnothing$
　　　　　　のとき
　　　　　　$n(A \cup B) = n(A)+n(B)$
　　　　　　となる。

補集合の要素の個数

$U$ を全体集合、$\bar{ A }$ を $A$ の補集合とすると、補集合の要素の個数は下記の式で求められる。
　　・$n(\bar{ A }) = n(U)-n(A)$

３つの集合の和集合の要素の個数

　　・$n(A \cup B \cup C)$
　　　　$= n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C)$

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