| 第４４０回 実用数学技能検定 ２級２次 問題３(選択) |
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$ xy $ 平面上に $ 2x -y + 3 =0 $ で表される直線 $ l $ と、 $ 3x -4y +1 =0 $ で表される直線 $ m $ があります。 $ t $ を実数として、直線 $ l $ 上に点 $ P(t,~2t +3) $ をとるとき、 次の問いに答えなさい。 (1) 点 $ P $ と直線 $ m $ の距離を $ d $ とします。 $ d $ を $ t $ を用いて表しなさい。 この問題は解法の過程を記述せずに、答えだけを書いてください。 (2) 直線 $ m $ 上に $ 2 $ 点 $ A(-7,~-5),~~B(9,~7) $ をとり、 $ \triangle PAB $ の面積を $ S $ とします。 $ S =30 $ となるような点 $ P $ の座標をすべて求めなさい。 |
| 問題３(選択) 模範解答 |
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(1) (記述解答なし) (答) $ d = \displaystyle \frac{ \left| 5t +11 \right| }{ 5 } $ |
(2) 線分 $ AB $ の長さは $ \sqrt{ \{ 9 -(-7) \}^2 + \{ 7 -(-5) \}^2 } = 20 $ であるから、$ \triangle PAB $ の面積 $ S $ は (1) の結果より $ \displaystyle \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d $ $ \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{ \left| 5t +11 \right| }{ 5 } $ $ 2 \left| 5t +11 \right| $ $ S = 30 $ より $ 2 \left| 5t +11 \right| = 30 $ $ \left| 5t +11 \right| = 15 $ $ 5t + 11 = 15 $ または $ 5t +11 = -15 $ $ t = \displaystyle \frac{ 4 }{ 5 },~~- \frac{26}{5} $ $ t = \displaystyle \frac{ 4 }{ 5 } $ のとき $ 2t +3 = \displaystyle \frac{ 23 }{ 5 } $、$ t = \displaystyle - \frac{ 26 }{ 5 } $ のとき $ 2t +3 = \displaystyle - \frac{ 37 }{ 5 } $ よって、求める点 $ P $ の座標は $ \left( \displaystyle \frac{ 4 }{ 5 },~~ \frac{23}{5} \right),~~\left( \displaystyle - \frac{ 26 }{ 5 },~~ - \frac{37}{5} \right) $ である。 (答) $ \left( \displaystyle \frac{ 4 }{ 5 },~~ \frac{23}{5} \right),~~\left( \displaystyle - \frac{ 26 }{ 5 },~~ - \frac{37}{5} \right) $ |
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