| 第４４０回 実用数学技能検定 ２級２次 問題４(選択) |
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初項が $ 12 $ 、公差が $ 2 $ である等差数列 $ \{ a_n \} $ について、 初項から第 $ n $ 項までの和を $ S_n $ とするとき、 次の問いに答えなさい。 (1) $ S_n $ を求めなさい。 (2) 次の和を求めなさい。 $ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{180} \frac{1}{S_k +30} $ |
問題４(選択) 模範解答
(1) $ a_n = 12 +2(n-1) =2n +10 $
より
$ S_n = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (2k +10) $
$ = 2 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) +10n $
$ = n^2 +11n $
(答) $ S_n = n^2 +11n $
(2) $ \displaystyle \frac{ 1 }{ S_k +30 } = \frac{ 1 }{ k^2 +11k +30 } = \frac{ 1 }{ (k+5)(k+6) } = \frac{ 1 }{ k +5 } - \frac{ 1 }{ k +6 } $
より
$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{180} \frac{1}{S_k +30} = \sum_{ k = 1 }^{180} \frac{ 1 }{ k +5 } - \frac{ 1 }{ k +6 } $
$ = \displaystyle { \left( \frac{1}{ 6 } - \frac{1}{ 7 } \right) + \left( \frac{1}{ 7 } - \frac{1}{ 8 } \right) + \left( \frac{1}{ 8 } - \frac{1}{ 9 } \right) + \dotsm + \left( \frac{1}{ 185 } - \frac{1}{ 186 } \right) } $
$ = \displaystyle \frac{1}{ 6 } - \frac{1}{ 186 } $
$ = \displaystyle \frac{ 5 }{ 31 } $
(答) $ \displaystyle \frac{ 5 }{ 31 } $
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